การวิเคราะห์บทพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์และกำหนดนิยามเชิงปฏิบัติการเพื่อวิเคราะห์ปัญหาการเคลื่อนที่ของวัตถุบนส่วนโค้งบราคิสโทโครนภายใต้อิทธิพลของสนามโน้มถ่วงโดยไม่มีแรงใด ๆ มาต้านการเคลื่อนที่ของวัตถุ

ชื่อนักเรียนผู้จัดทำโครงงานวิทยาศาสตร์

รัชชานนท์ สมอุ่มจารย์, ธนิสร แสนสมบัติ, ณชนก ลิ้มทองคำ

อาจารย์ที่ปรึกษาโครงงานวิทยาศาสตร์

คฑาไชย ทักษ์สิทธา, อังษณานันท์ อินทรชัย

โรงเรียนที่กำกับดูแลโครงงานวิทยาศาสตร์

โรงเรียนพิษณุโลกพิทยาคม

ปีที่จัดทำโครงงานวิทยาศาสตร์

พ.ศ. 2565

บทคัดย่อโครงงานวิทยาศาสตร์

จากการศึกษาวีดิทัศน์แสดงการเคลื่อนที่ของวัตถุบนรางรูปแบบต่าง ๆ เมื่อปล่อยวัตถุจากตำแหน่งบนรางที่อยู่สูงกว่าไปยังตำแหน่งที่อยู่ต่ำสุด ผลปรากฏว่ารางที่มีลักษณะเป็นเส้นโค้งไซคลอยด์ (Cycloid) จะส่งผลให้วัตถุเคลื่อนที่ไวที่สุด คณะผู้ศึกษาจึงต้องการค้นหาสาเหตุที่ทำให้เกิดปรากฏการณ์นี้ ไซคลอยด์เป็นเส้นโค้งหนึ่งทางเรขาคณิตที่ถูกศึกษาครั้งแรกโดยนิโคลัสออฟคูซา (Nicholas of Cusa) ซึ่งหมายถึง แนวทางเดินของจุดตรึงจุดหนึ่งบนเส้นรอบวงของวงกลม เมื่อกลิ้งวงกลมนั้นไปตามแนวระดับเป็นเส้นตรงจนครบ 1 รอบ และไซคลอยด์ยังได้ถูกขนานนามว่าเป็นหญิงสาวที่สวยงามที่สุดแห่งเรขาคณิต โดยมีคุณสมบัติเด่น 2 ประการ ประกอบด้วย 1) บราคิสโทโครน (Brachistochrone) หมายถึง รางไซคลอยด์ที่ทำให้วัตถุเคลื่อนที่จากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งซึ่งอยู่ในระดับต่ำกว่าโดยใช้ระยะเวลาในการเคลื่อนที่น้อยที่สุด เมื่อเปรียบเทียบกับการเคลื่อนที่บนรางทั้งหมด ตั้งแต่รางเส้นตรงไปจนถึงรางโค้งเว้าในรูปแบบอื่น ๆ และ 2) เทาโทโครน (Tautochrone) หมายถึง การปล่อยวัตถุจากที่สูงกว่าในระดับใดก็ตามบนรางไซคลอยด์ วัตถุจะเคลื่อนที่ถึงตำแหน่งซึ่งอยู่ต่ำที่สุดของรางโดยใช้ระยะเวลาเท่ากันเสมอ ด้วยเหตุนี้ คณะผู้ศึกษาจึงมีแนวคิดที่จะนำความรู้เกี่ยวกับตรีโกณมิติ แคลคูลัส และกฎการอนุรักษ์พลังงาน มาใช้สร้างสมการการเคลื่อนที่ของวัตถุบนรางไซคลอยด์ และค้นคว้าสมบัติอื่นที่เกี่ยวข้องกับไซคลอยด์ เพื่อนำสมการที่ได้นั้นมาใช้สร้างแบบจำลองบนเว็บแอปพลิเคชัน Desmos ตามหลักการและบทพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์

ผลการศึกษาพบว่าไซคลอยด์มีสมบัติ 3 ประการ ดังนี้ 1) สมการเส้นสัมผัสไซคลอยด์ 2) พื้นที่ใต้กราฟไซน์ที่แนบในไซคลอยด์ และ 3) ระยะทางที่เคลื่อนที่ได้ในหนึ่งหน่วยเวลาบนรางไซคลอยด์อยู่ในรูปสมการอิงตัวแปรเสริม x=R(θ-sin⁡θ ) และ y=-R(1-cos⁡θ )+2R โดยที่ θ เป็นฟังก์ชันของเวลา t ดังสมการ θ(t)=2arccos(cos θ_0/2 sin(π/2-t/2 √(g/R))) ซึ่งมีค่าคงที่ θ_0 คือ จุดเริ่มต้นปล่อยวัตถุ, R คือ รัศมี, และ g คือ ค่าความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง นอกจากนี้ คณะผู้ศึกษาได้นำสมบัติที่ค้นพบทั้งหมดมาใช้ในการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เพื่อแสดงการเคลื่อนที่ของวัตถุบนรางไซคลอยด์ผ่านเว็บแอปพลิเคชัน Desmos โดยแบบจำลองนี้ยังสามารถใช้เป็นสื่อการเรียนรู้ในรายวิชาฟิสิกส์และคณิตศาสตร์