เส้นมัธยฐานแบ่งรูปสามเหลี่ยมใดๆออกเป็นรูปสามเหลี่ยมหกรูปที่มีพื้นที่เท่ากัน

ชื่อนักเรียนผู้จัดทำโครงงานวิทยาศาสตร์

พินทุสร จันโทศรี, สิริยาภรณ์ คำสิงห์วงษ์, จิราวรรณ คำจำปา

อาจารย์ที่ปรึกษาโครงงานวิทยาศาสตร์

กัญญ์ภัคพิมพ์ อุดมวงษ์, บุษราภรณ์ กองรัตน์

โรงเรียนที่กำกับดูแลโครงงานวิทยาศาสตร์

โรงเรียนมัญจาศึกษา

ปีที่จัดทำโครงงานวิทยาศาสตร์

พ.ศ. 2560

บทคัดย่อโครงงานวิทยาศาสตร์

บทคัดย่อ

โครงงานคณิตศาสตร์เรื่องเส้นมัธยฐานแบ่งรูปสามเหลี่ยมออกเป็นสามเหลี่ยมหกรูปที่มีพื้นที่เท่ากัน ระดับชั้นมัธยมศึกษาตอนปลายมีจุดมุ่งหมายในการศึกษาค้นคว้าเพื่อศึกษาว่าเมื่อลากเส้นมัธยฐานทั้งสามเส้นตัดกันที่จุดเซนทรอยด์ทำให้เกิดรูปสามเหลี่ยมหกรูปที่มีพื้นที่เท่ากัน และเพื่อศึกษาว่าเมื่อแบ่งส่วนความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมแต่ละด้านออกเป็นสัดส่วนที่เท่ากัน แล้วลากเส้นตรงผ่านจุดบนด้านของรูปสามเหลี่ยม

ไปยังจุดยอดที่อยู่ตรงข้าม เส้นตรงทั้งหมดจะตัดกันแล้วเกิดรูปหลายเหลี่ยมที่มีพื้นที่สัมพันธ์กัน

ผลการทำโครงงานพบว่า

  1. เส้นมัธยฐานของแต่ละด้านจะแบ่งพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมออกเป็นหกส่วนเท่าๆ กัน

  2. เมื่อแบ่งส่วนความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมแต่ละด้านออกเป็นสัดส่วนที่เท่ากัน

แล้วลากเส้นตรงผ่านจุดบนด้านของรูปสามเหลี่ยมไปยังจุดยอดที่อยู่ตรงข้าม เส้นตรงทั้งหมดจะตัดกันแล้วเกิดรูปหลายเหลี่ยมที่มีพื้นที่สัมพันธ์กันดังนี้ภายในรูปสามเหลี่ยม ABC ประกอบไปด้วย

  1. สามเหลี่ยมใด ๆ มีจำนวน 6 รูป และทั้ง 6 รูปมีพื้นที่เท่ากัน

  2. สี่เหลี่ยมใด ๆ มีจำนวน 3 รูป และทั้ง 3 รูปมีพื้นที่เท่ากัน

  3. ห้าเหลี่ยมใด ๆ มีจำนวน 3 รูป และทั้ง 3 รูปมีพื้นที่เท่ากัน

  4. หกเหลี่ยมใด ๆ มีจำนวน 1 รูป และในรูปหกเหลี่ยมมีรูปสามเหลี่ยม 6 รูปมีพื้นที่เท่ากัน

และนอกจากนี้รูปสามเหลี่ยมสองรูปใด ๆ ที่มีขนาดพื้นที่เท่ากัน เมื่อแบ่งส่วนความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งให้มีความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมเป็นพหุคูณของความยาวของรูปสามเหลี่ยมแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่ง เราจะพบว่าภายในรูปสามเหลี่ยมสองรูปใด ๆ ประกอบไปด้วยรูปสามเหลี่ยม , รูปสี่เหลี่ยม , รูปห้าเหลี่ยมและรูปหกเหลี่ยมมีขนาดพื้นที่เท่ากัน

นอกจากนี้คณะผู้จัดทำได้ค้นพบเนื้อหาทางคณิตศาสตร์ ดังนี้

  1. เมื่อกำหนด พื้นที่ ∆ABC เป็นสามเหลี่ยมใดๆ และ ด้าน (AB) ̅ แบ่งออกเป็น n ส่วนๆละเท่ากัน และด้าน (AC) ̅ แบ่งออกเป็น n ส่วนๆ ละเท่ากัน และ h_1,h_2,h_3,…,h_n แทนความสูงของ

รูปสามเหลี่ยม

พื้นที่ ∆ AE_n G_n=n^2 (1/2∙ (G_1 E_1 ) ̅∙h_1 )

พื้นที่ ∆A(E_i G_i ) ̅=(i/(i-1))^2 พื้นที่ ∆A(E_(i-1,) G_(i-1 ) ) ̅ ,i=2,3,4,5,…,n

  1. คณะผู้จัดทำได้ศึกษาเพิ่มเติม ดังรูปต่อไปนี้

ได้ว่า พื้นที่ ∆FED =พื้นที่ ∆EDI= พื้นที่ ∆DIG=พื้นที่ ∆DGM=พื้นที่ ∆DLM= พื้นที่ ∆FLD

  1. กำหนดให้ ∆ABC แบ่งสัดส่วนด้าน (AB) ̅, (BC) ̅และ (AC) ̅ ออกเป็นสัดส่วนที่เท่ากัน ดังรูป

พบว่า พื้นที่ ∆ABB_1= พื้นที่ ∆B_1 BB_2= ...= พื้นที่∆B_n BC =

พื้นที่ ∆ACC_1= พื้นที่ ∆C_1 CC_2 = ...= พื้นที่∆C_n CB =

พื้นที่ ∆BAA_1= พื้นที่ ∆A_1 AA_2= ...= พื้นที่∆A_n AC

ข้อเสนอแนะ ควรศึกษาเส้นตั้งฉากของแต่ละด้านจะแบ่งพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมออกเป็นกี่ส่วนแล้วมีความสัมพันธ์กัน