ความเป็นอนันต์ของเซตจำนวนเฉพาะที่เป็นตัวหารของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มภายใต้เงื่อนไขบางประการ

ชื่อนักเรียนผู้จัดทำโครงงานวิทยาศาสตร์

ศิกษก ชิตรัตถา, เดช ติวัฒนาสุข, ณัฐภัทร จารุชัยสิทธิกุล

อาจารย์ที่ปรึกษาโครงงานวิทยาศาสตร์

ธรรมนูญ ผุยรอด, อัญญารัตน์ บุญวัฒน์

โรงเรียนที่กำกับดูแลโครงงานวิทยาศาสตร์

โรงเรียนมหิดลวิทยานุสรณ์

ปีที่จัดทำโครงงานวิทยาศาสตร์

พ.ศ. 2560

บทคัดย่อโครงงานวิทยาศาสตร์

ฟังก์ชันพหุนามถือเป็นพื้นฐานสำคัญในการศึกษาคณิตศาสตร์แทบทุกแขนง เนื่องจากเป็นฟังก์ชั่นที่มีรูปแบบเรียบง่ายและการดำเนินการพื้นฐานอย่าง การบวก การคูณ การหาอนุพันธ์ การหาปริพันธ์ ก็ไม่ซับซ้อนจนเกินไป ฟังก์ชั่นพหุนามจึงถูกเลือกให้เป็นฟังก์ชันในการประมาณค่าฟังก์ชันที่ยุ่งยากซับซ้อนอยู่เสมอ ด้วยเหตุนี้ฟังก์ชั่นพหุนามจึงมีประโยชน์ที่จะศึกษาให้เข้าใจคุณสมบัติในหลาย ๆ ด้าน

จำนวนเฉพาะเป็นส่วนประกอบที่สำคัญที่สุดในการศึกษาจำนวนเต็ม ดังเห็นได้จากทฤษฎีบทหลักมูลเลขคณิต เพราะฉะนั้นโครงงานนี้จึงศึกษาตัวประกอบเฉพาะของค่าในเรนจ์ของฟังก์ชั่นพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม ใช้ความรู้ด้านทฤษฎีจำนวน และทฤษฎีบทต่าง ๆ เกี่ยวกับพหุนามพหุนามเป็นหลักในการศึกษา

ผู้พัฒนาได้ศึกษาข้อมูลและทราบว่า ในปี ค.ศ.1912 Issai Schur นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซียได้ค้นพบทฤษฎีบทที่มีความเกี่ยวข้องกันระหว่างจำนวนเฉพาะและพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม โดยทฤษฎีบทนี้กล่าวไว้ว่า “ทุกพหุนาม P(x) ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มและไม่ใช่พหุนามคงตัว ถ้า S = { P(x)≠0 | x € N} แล้ว เซตของจำนวนเฉพาะที่หารสมาชิกบางตัวของเซต S ลงตัว เป็นเซตอนันต์” ทฤษฎีบทนี้ได้แสดงความสัมพันธ์ของเซตตัวประกอบเฉพาะกับพหุนาม ผู้พัฒนาจึงสนใจพิจารณาเงื่อนไขบางประการที่เพิ่มขึ้นมาคือ ถ้าเปลี่ยนจากเซตของจำนวนเฉพาะที่หารสมาชิกบางตัวของเซต S ลงตัวเป็นเซตของจำนวนเฉพาะ p ซึ่ง pk หารสมาชิกบางตัวของเซต S ลงตัว เซตของจำนวนเฉพาะที่มีคุณสมบัตินี้จะยังคงเป็นเซตอนันต์อยู่อีกหรือไม่ ซึ่งเป็นการต่อยอดองค์ความรู้ด้านทฤษฎีจำนวนและคงจะมีประโยชน์ใช้งานได้ในอนาคต