ผลบวกของลำดับที่มีรูปแบบคล้ายลำดับฟีโบนักชี
- ชื่อนักเรียนผู้จัดทำโครงงานวิทยาศาสตร์
ศรีณยา จันทรศาล, ปิยกานต์ โอทอง, ณิชกานต์ ควนวิไล
- อาจารย์ที่ปรึกษาโครงงานวิทยาศาสตร์
เกวลิน เสน่หา, บัญชา เก้าเอี้ยน
- โรงเรียนที่กำกับดูแลโครงงานวิทยาศาสตร์
- ปีที่จัดทำโครงงานวิทยาศาสตร์
บทคัดย่อโครงงานวิทยาศาสตร์
ที่มาและความสำคัญ
คณิตศาสตร์มีบทบาทสำคัญยิ่งต่อการพัฒนาความคิดของมนุษย์ ทำให้มนุษย์มีความคิดสร้างสรรค์
คิดอย่างมีเหตุผล เป็นระบบ มีแบบแผน สามารถวิเคราะห์ปัญหาหรือสถานการณ์ได้อย่างถี่ถ้วน รอบคอบ
ช่วยให้คาดการณ์ วางแผน ตัดสินใจ แก้ปัญหา และนำไปใช้ในชีวิตประจำวันได้อย่างถูกต้องเหมาะสม นอกจากนี้คณิตศาสตร์ยังเป็นเครื่องมือในการศึกษาทางด้านวิทยาศาสตร์ เทคโนโลยี และศาสตร์อื่น ๆ คณิตศาสตร์จึงมีประโยชน์ต่อการดำเนินชีวิต ช่วยพัฒนาคุณภาพชีวิตให้ดีขึ้น และสามารถอยู่ร่วมกับผู้อื่นได้อย่างมีความสุข (กระทรวงศึกษาธิการ. 2552: 1)
จากประสบการณ์ในการเรียนรู้และการทำโจทย์คณิตศาสตร์ บ่อยครั้งจะเจอโจทย์เกี่ยวกับการ
หาผลบวกของลำดับต่าง ๆ เช่น
-จงหาผลบวกของลำดับ 1, 2, 3, 4, 5, …, 10
-จงหาผลบวกของ 2, 4, 8, 10, 12, …, 40
-จงหาผลบวก 40 พจน์แรกของลำดับ 2, 6, 10, 14, 18, … หรือ
-จงหาผลบวกของ 6+9+12+15+…+99 เป็นต้น
ซึ่งการหาผลบวกของลำดับดังกล่าวสามารถหาได้โดยการพิจารณาว่าลำดับที่กำหนดให้เป็นลำดับ
เลขคณิตหรือลำดับเรขาคณิต หลังจากนั้นก็ใช้สูตรในการหาผลบวกของลำดับเลขคณิตหรือลำดับเรขาคณิตตามลำดับ นอกเหนือจากลำดับเลขคณิตและลำดับเรขาคณิตแล้วยังมีลำดับอื่น ๆ อีก เช่น ลำดับฟีโบนักชี
ถ้าหากเราสังเกตดอกไม้รอบ ๆ ตัวเรา จะเห็นว่าดอกไม้ส่วนใหญ่มีจำนวนกลีบเป็น 1 กลีบ (ดอกหน้าวัว)
2 กลีบ (ดอกโป๊ยเซียน) 3 กลีบ (ดอกเฟื่องฟ้า) 5 กลีบ (ดอกแพงพวย) 8 กลีบ (ดอกดาวกระจาย) 13 กลีบ (ดอกบัวตอง) 21 กลีบ (ดอกเดซี่) และ34 กลีบ (ดอกเดซี่) จะเห็นถึงความสอดคล้องระหว่างธรรมชาติกับคณิตศาสตร์ เมื่อมาเขียนเรียงกันก็จะได้ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … ซึ่งเป็นลำดับฟีโบนักชีนั่นเอง โดยที่สองพจน์แรกคือ 1 และ 1 ส่วนพจน์ถัดมาในลำดับนี้เป็นผลบวกของพจน์ที่อยู่ติดกันก่อนหน้า จากลำดับ
ฟีโบนักชีดังกล่าวไม่สามารถหาผลบวกโดยใช้สูตรการหาผลบวกของลำดับเลขคณิตหรือลำดับเรขาคณิตได้
ทางผู้จัดทำจึงสนใจศึกษาการหาผลบวกของลำดับฟีโบนักชีขึ้น และในทำนองเดียวกันถ้าอาศัยหลักการสร้างของลำดับฟีโบนักชีมาสร้างลำดับที่มีรูปแบบคล้ายลำดับฟีโบนักชี โดยที่สองพจน์แรกไม่ใช่ 1 และ 1 สามารถสร้างลำดับต่าง ๆ ได้อีกมากมาย เช่น 4, 6, 10, 16, …, 68 หรือ 9, 25, 34, 59, 93, 152, 245 แล้วจะมีวิธีการหาผลบวกของลำดับดังกล่าวได้อย่างไร โดยไม่ต้องนำจำนวนทั้งหมดมาบวกกันโดยตรง และทำให้หาผลบวกได้รวดเร็วขึ้น
ผู้จัดทำจึงสนใจทำโครงงาน เรื่อง ผลบวกของลำดับที่มีรูปแบบคล้ายลำดับฟีโบนักชี นี้ขึ้นมาเพื่อตรวจสอบและหาคำตอบของลำดับดังกล่าวข้างต้น
วัตถุประสงค์
เพื่อศึกษาการหาผลบวกของลำดับฟีโบนักชี
เพื่อหาผลบวกของลำดับที่มีรูปแบบคล้ายลำดับฟีโบนักชี
ประโยชน์ที่คาดว่าจะได้รับ
ผลจากการดำเนินโครงงานครั้งนี้ ทำให้มีความรู้เรื่องการหาผลบวกของลำดับและสามารถหาผลบวกของลำดับที่มีรูปแบบคล้ายลำดับฟีโบนักชีได้
ขอบเขตการศึกษา
ผลบวกของลำดับที่มีรูปแบบคล้ายลำดับฟีโบนักชีจะศึกษาลำดับที่มีรูปแบบคล้ายลำดับฟีโบนักชี กรณีที่เป็นจำนวนเต็มบวก
เอกสารที่เกี่ยวข้อง
ลำดับฟีโบนักชี
1.1 ประวัติจำนวนฟีโบนักชี
1.2 ความหมายของลำดับฟีโบนักชี
1.3 ลำดับฟีโบนักชีในธรรมชาติ
ลำดับที่มีรูปแบบคล้ายลำดับฟีโบนักชี
การให้เหตุผลแบบอุปนัย
การพิสูจน์โดยหลักการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์
วิธีดำเนินการ
ศึกษาเกี่ยวกับลำดับฟีโบนักชีและลำดับที่มีรูปแบบคล้ายลำดับฟีโบนักชี ดังนี้
ลำดับฟีโบนักชี (Fibonacci sequence) คือ ลำดับ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … ซึ่งสอง
จำนวนแรก คือ 1 กับ 1 จำนวนอื่นๆ คือ ผลบวกของจำนวน 2 จำนวนติดกันที่อยู่ก่อนหน้าจำนวนนั้น
นั่นคือ ลำดับฟีโบนักชี โดย และ
เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่าหรือเท่ากับ 0
ลำดับที่มีรูปแบบคล้ายลำดับฟีโบนักชี คือ ลำดับที่มีลักษณะและหลักการสร้าง ดังนี้
เมื่อ เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆซึ่งสามารถแบ่งได้เป็น 2 กรณี ดังนี้
กรณีที่ 1 สองจำนวนแรกเหมือนกัน สามารถแบ่งเป็น 2 แบบ ได้แก่
1)สองจำนวนแรกเหมือนกัน แบบ จำนวนคู่, จำนวนคู่
สองจำนวนแรกเหมือนกัน แบบ จำนวนคี่, จำนวนคี่
กรณีที่ 2 สองจำนวนแรกต่างกัน สามารถแบ่งเป็น 4 แบบ ได้แก่
1)สองจำนวนแรกต่างกัน แบบ จำนวนคี่, จำนวนคี่
2)สองจำนวนแรกต่างกัน แบบ จำนวนคู่, จำนวนคู่
3)สองจำนวนแรกต่างกัน แบบ จำนวนคู่, จำนวนคี่
4)สองจำนวนแรกต่างกัน แบบ จำนวนคี่, จำนวนคู่
2.ศึกษาการหาผลบวกของลำดับฟีโบนักชี
3.หาผลบวกของลำดับที่มีรูปแบบคล้ายลำดับฟีโบนักชี ดังนี้
3.1กรณีที่ 1 สองจำนวนแรกเหมือนกัน สามารถแบ่งย่อยได้เป็น 2 แบบ
3.1.2สองจำนวนแรกเหมือนกัน แบบ จำนวนคี่, จำนวนคี่ เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ
3.2กรณีที่ 2 สองจำนวนแรกต่างกัน สามารถแบ่งย่อยได้เป็น 4 แบบ
3.2.2สองจำนวนแรกต่างกัน แบบ จำนวนคู่, จำนวนคู่ เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ
4.หาผลบวกของลำดับที่มีรูปแบบคล้ายลำดับฟีโบนักชี กรณีที่จำนวนไม่เรียงติดกัน
5.พิสูจน์โดยใช้อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์