การศึกษาผลลัพธ์จากการดำเนินการตามกติกาและบางเงื่อนไขในการได้คำตอบของเกม 24

ชื่อนักเรียนผู้จัดทำโครงงานวิทยาศาสตร์

ภัทรานิษฐ์ ราชพลีสิงห์

อาจารย์ที่ปรึกษาโครงงานวิทยาศาสตร์

รุ่งทิวา บุญมาโตน, ศรายุทธ วิริยะคุณานันท์

โรงเรียนที่กำกับดูแลโครงงานวิทยาศาสตร์

โรงเรียนยุพราชวิทยาลัย

ปีที่จัดทำโครงงานวิทยาศาสตร์

พ.ศ. 2566

บทคัดย่อโครงงานวิทยาศาสตร์

เกม 24 (24 Game) มีกติกาการเล่น คือ ผู้เล่นหนึ่งคนจะเป็นผู้สุ่มเลขโดดสี่ตัวจากเลขโดด 1 – 9 ซึ่งอาจจะซ้ำหรือไม่ซ้ำกันก็ได้ แล้วผู้เล่นคนอื่นจะต้องนำเลขโดดทั้งสี่ตัวไปดำเนินการทางคณิตศาสตร์ ได้แก่ การบวก การลบ การคูณ หรือการหาร โดยแต่ละเลขโดดสามารถนำมาดำเนินการได้เพียงครั้งเดียวให้เกิดผลลัพธ์เป็น 24 จากกติกาการเล่นเกม 24 ผู้พัฒนาโครงงานเกิดความสงสัยว่าทำไมจึงต้องกำหนดผลลัพธ์ของเกมให้เป็น 24 เนื่องจากจำนวนชุดของเลขโดดที่สุ่มมาตามกติกา เมื่อนำมาดำเนินการแล้วจะทำให้เกิดผลลัพธ์เป็น 24 มากที่สุดหรือไม่ เนื่องจากตัวประกอบของ 24 มีมากถึง 6 ตัว จากเลข 1 – 9

เดิมทีได้ทำการศึกษาเพื่อหาจำนวนชุดของเลขโดดที่สุ่มมาตามกติกาของเกม 24 แล้วทำให้เกิดผลลัพธ์ที่เป็นจำนวนเต็มที่มีความถี่มากที่สุด 30 อันดับแรก โดยมีวิธีการศึกษา คือ สุ่มเลขโดด 1 – 9 มาสี่ตัวซึ่งอาจจะซ้ำกันหรือไม่ซ้ำกันก็ได้ให้ครบทุกกรณีโดยใช้หลักการคูณ เรียกว่า ชุดของเลขโดด จะได้ชุดของเลขโดด 9 x 9 x 9 x 9 = 6,561 ชุด จากนั้นนำชุดของเลขโดดมาดำเนินการกับรูปแบบของการดำเนินการที่สร้างขึ้นจากการเลือกใช้การบวก การลบ การคูณ หรือการหาร ร่วมกับรูปแบบของการใส่วงเล็บให้ครบทุกกรณี จะได้รูปแบบของการดำเนินการทั้งสิ้น 4 x 4 x 4 x 10 = 640 รูปแบบ และทำการหาผลลัพธ์และจำนวนชุดของเลขโดดที่ทำให้เกิดผลลัพธ์ที่เป็นจำนวนเต็มที่มีความถี่มากที่สุด 30 อันดับแรก จากการพิจารณาชุดของเลขโดดร่วมกับรูปแบบของการดำเนินการ จากการศึกษาพบว่า มีผลลัพธ์เท่ากับ 24 คิดเป็นความถี่ 28,269 รูปแบบ ซึ่งไม่ใช่ความถี่ที่มากที่สุด และมีผลลัพธ์เท่ากับ 24 เกิดกับชุดของเลขโดด 3,802 ชุด ซึ่งไม่ใช่จำนวนชุดของเลขโดดที่มากที่สุด

ต่อมาค้นพบว่าชุดของเลขโดดที่เกิดจากการนับโดยใช้หลักการคูณ มีชุดของเลขโดดที่ซ้ำกันเมื่อพิจารณาตามเงื่อนไขในกติกาของเกม 24 อีกทั้งยังมีรูปแบบของการดำเนินการบางชุดที่ให้ผลลัพธ์เท่ากัน จึงศึกษาเพิ่มเติมเกี่ยวกับการนับจำนวนชุดของเลขโดดและจำนวนรูปแบบของการดำเนินการ พบว่าสามารถสร้างชุดของเลขโดดโดยการใช้หลักการจัดหมู่แบ่งชุดของเลขโดดออกเป็นกรณีต่าง ๆ ได้แก่ ชุดของเลขโดดที่มีสมาชิกเป็นเลขโดดที่ไม่ซ้ำกันเลย ชุดของเลขโดดที่มีสมาชิกเป็นเลขโดดที่ซ้ำกันทั้งสี่ตัว ชุดของเลขโดดที่มีสมาชิกเป็นเลขโดดที่สามตัวใด ๆ ซ้ำกัน ชุดของเลขโดดที่มีสมาชิกเป็นเลขโดดที่สองตัวใด ๆ ซ้ำกัน และชุดของเลขโดดที่มีสมาชิกเป็นเลขโดดที่ซ้ำกันสองตัวและเลขโดดอีกสองตัวเป็นเลขโดดตัวอื่นที่ไม่ใช่เลขโดดที่ซ้ำกัน จะได้ชุดของเลขโดดที่แตกต่างทั้งสิ้น 495 ชุด และสร้างรูปแบบของการดำเนินการโดยพิจารณาจากตำแหน่งของการบวกหรือการลบ เนื่องจากการใส่วงเล็บให้การบวกหรือการลบหนึ่งการดำเนินการก่อนการบวกหรือการลบอีกตัวหนึ่งจะไม่มีความหมาย และเป็นเช่นเดียวกันกับการคูณหรือการหาร แต่สำหรับการใส่วงเล็บให้กับการบวกหรือการลบให้ดำเนินการก่อนการคูณหรือการหารที่ติดกันมีความหมาย จะได้ว่า จะไม่มีการใส่วงเล็บกับการดำเนินการขั้นเดียวกันที่ติดกัน แต่จะนับการใส่วงเล็บกับการดำเนินการขั้นต่างกันที่ติดกัน โดยที่ไม่สนใจการดำเนินการที่ไม่ได้อยู่ติดกัน จะได้รูปแบบของการดำเนินการที่แตกต่างกันทั้งหมด 179 รูปแบบ แล้วหาผลลัพธ์โดยที่สมาชิกในชุดของเลขโดดสลับตำแหน่งกันได้ นำไปสู่การพิจารณาความถี่ของการเกิดผลลัพธ์ที่เกิดจากการพิจารณาชุดของเลขโดดร่วมกับรูปแบบของการดำเนินการ และพิจารณาจำนวนชุดของเลขโดดที่ทำให้เกิดผลลัพธ์ดังกล่าว จากนั้นทำการสำรวจชุดของเลขโดดที่มีสมาชิกสี่ตัวที่เกิดจากการสุ่มเลขโดดตามกติกา เพื่อหาเงื่อนไขของชุดของเลขโดดที่สุ่มได้แล้วเกิดผลลัพธ์เป็น 24 เสมอ และผู้พัฒนาได้ศึกษาเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงกติกาการเล่นเกม 24 ด้วยการเพิ่มการดำเนินการแฟกทอเรียล รากที่สอง หรือรากดิจิทัล เพื่อให้เกิดผลลัพธ์เป็น 24 ในความถี่ที่มากขึ้นกว่าเดิม

จากการศึกษาพบว่า มีจำนวนชุดของเลขโดด 404 ชุด ซึ่งคิดเป็นร้อยละ 81.61 จากชุดของเลขโดดทั้งหมด 495 ชุด ที่นำมาดำเนินการตามกติกาการเล่นเกม 24 แล้วเกิดผลลัพธ์เป็น 24 ซึ่งไม่ใช่จำนวนชุดของเลขโดดที่มากที่สุด และจากการศึกษาเพื่อหาเงื่อนไขของชุดของเลขโดดที่ทำให้เกิดผลลัพธ์เป็น 24 เสมอ พบว่าชุดของเลขโดดที่มีสมบัติดังต่อไปนี้จะทำให้เกิดผลลัพธ์เป็น 24 เสมอ ได้แก่ 1) ชุดของเลขโดดที่มีเลขโดดสองตัวดำเนินการกันได้เท่ากับ 12 หรือ 48 และเลขโดดสองตัวที่เหลือดำเนินการกันได้เท่ากับ 2 2) ชุดของเลขโดดที่มีเลขโดดสามตัวเรียงกัน คือ x, y และ z โดยที่ y * w = 24 เมื่อ w เป็นเลขอีกตัวที่เหลือ 3) ชุดของเลขโดดเป็นเลขที่เรียงกันเป็นไซคลิก รวมถึงมีรูปแบบและขั้นตอนในการหาผลลัพธ์ที่ง่ายและรวดเร็วขึ้น

อีกทั้งยังศึกษาเพิ่มเติมเกี่ยวกับสมบัติทางพีชคณิตของรูปแบบของการดำเนินการที่ทำให้ได้ผลลัพธ์เป็น 24 เสมอ

นอกจากนี้ การศึกษาผลของการเปลี่ยนแปลงกติกาการเล่นเกม 24 ด้วยการเพิ่มการดำเนินการแฟกทอเรียล รากที่สอง หรือรากดิจิทัล พบว่าเมื่อเพิ่มการดำเนินการดังกล่าวทำให้ชุดของเลขโดดที่ไม่สามารถเกิดผลลัพธ์เป็น 24 เมื่อดำเนินการตามกติกาเดิม เกิดผลลัพธ์เป็น 24 ได้ เป็นผลทำให้ความถี่ของการเกิดผลลัพธ์เป็น 24 เพิ่มขึ้นเมื่อเปรียบเทียบจากการเล่นด้วยกติกาเดิม