สร้างสูตรสำเร็จในการหาค่าของ cos⁡nθ และ sin⁡nθ โดยที่ θ คือมุมใดๆ และ n เป็นจำนวนเต็มบวก

ชื่อนักเรียนผู้จัดทำโครงงานวิทยาศาสตร์

ธนดล ปิ่ณฑศิริ

อาจารย์ที่ปรึกษาโครงงานวิทยาศาสตร์

ไพฑูรย์ จันทร์รุ่งมณีกุล

โรงเรียนที่กำกับดูแลโครงงานวิทยาศาสตร์

โรงเรียนพระปฐมวิทยาลัย

ปีที่จัดทำโครงงานวิทยาศาสตร์

พ.ศ. 2563

บทคัดย่อโครงงานวิทยาศาสตร์

การศึกษาโครงงานเรื่อง สร้างสูตรสำเร็จในการหาค่าของ cos⁡nθ และ sin⁡nθ โดยที่ θ คือมุมใดๆ และ n เป็นจำนวนเต็มบวก มีวัตถุประสงค์ เพื่อหาฟังก์ชันตรีโกณมิติ cos⁡nθ และ sin⁡nθ โดยถ้าเราหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ cos⁡nθ และ sin⁡nθ ดังกล่าวโดยใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติที่เกี่ยวข้องกับการหาค่าของมุมหลายเท่า จะพบได้ว่าไม่มีสูตรสำเร็จสำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติ cos⁡nθ และ sin⁡nθ หรือไม่ก็อาจใช้วิธีการเชิงพีชคณิตโดยประยุกต์จากเอกลักษณ์ตรีโกณมิติอื่นๆซึ่งการคำนวณมีความซับซ้อนเป็นอย่างมาก จากการศึกษาเพิ่มเติม ได้พบว่าทฤษฎีจำนวนเชิงซ้อนเรื่องจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว สามารถนำมาประยุกต์ใช้หาค่าของเอกลักษณ์ตรีโกณมิติมุมหลายเท่าได้ และทฤษฎีบทของเดอมัวฟ์ ที่กล่าวว่า ถ้า z=r(cos⁡θ+i sin⁡θ) เป็นจำนวนเชิงซ้อนในรูปของเชิงขั้วแล้ว z^n=r^n (cos⁡nθ+i sin⁡nθ ) ซึ่งเมื่อเราอาศัยทฤษฎีบททวินามในการกระจายพจน์ (cos⁡θ+i sin⁡θ )^n เราก็สามารถสร้างสูตรสำเร็จได้ โดยมี 4 กรณีดังนี้

กรณีที่ 1 cos⁡nθ เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มคู่บวก

cos⁡nθ=∑_(i=0)^(n/2)▒〖(-1)^i (n¦2i) (cos⁡θ )^(n-2i) (1-cos^2⁡θ )^i 〗

กรณีที่ 2 sin⁡nθ เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มคู่บวก

sin⁡nθ=∑_(i=0)^((n-2)/2)▒〖(-1)^i (n¦(2i+1))(cos⁡θ)^(n-(2i+1))⁡(sin⁡θ )^(2i+1)〗

กรณีที่ 3 cos⁡nθ เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มคี่บวก

cos⁡nθ=∑_(i=0)^((n-1)/2)▒〖(-1)^i (n¦2i) (cos⁡θ )^(n-2i) (1-cos^2⁡θ )^i 〗

กรณีที่ 4 sin⁡nθ เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มคี่บวก

sin⁡nθ=∑_(i=0)^((n-1)/2)▒〖(-1)^i (n¦(2i+1))(cosθ)^(n-(2i+1))⁡(sin⁡θ )^(2i+1)〗

ผลการศึกษาโครงงาน เมื่อแทนค่า n โดยที่ 2≤n≤5 ในสูตรสำเร็จ พบว่าค่าที่ได้มีความสอดคล้องกับการหาโดยใช้สูตรเอกลักษณ์ตรีโกณมิติมุมหลายเท่าใดๆ แต่เมื่อ n มีค่ามากๆ การใช้สูตรสำเร็จนั้น มีความสะดวกและง่ายต่อการคำนวณมากกว่าสูตรเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ แต่อย่างไรก็ตามเมื่อ n มีค่ามากขึ้น การคำนวณก็จะใช้เวลาและซับซ้อนมากขึ้นตามไปด้วย