การหาดีเทอร์มิแนนต์ของสามเหลี่ยมปาสคาล

ชื่อนักเรียนผู้จัดทำโครงงานวิทยาศาสตร์

กฤษฎา อาโน

อาจารย์ที่ปรึกษาโครงงานวิทยาศาสตร์

กัญญ์ภัคพิมพ์ อุดมวงษ์, บุษราภรณ์ กองรัตน์

โรงเรียนที่กำกับดูแลโครงงานวิทยาศาสตร์

โรงเรียนมัญจาศึกษา

ปีที่จัดทำโครงงานวิทยาศาสตร์

พ.ศ. 2561

บทคัดย่อโครงงานวิทยาศาสตร์

บทคัดย่อ

โครงงานคณิตศาสตร์เรื่อง การหาดีเทอร์มิแนนต์ของสามเหลี่ยมปาสคาล มีจุดมุ่งหมายในการศึกษาค้นคว้า 1. เพื่อศึกษาหาสมบัติดีเทอร์มิแนนต์ 2. เพื่อศึกษาหาสูตรดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์รูปแบบต่าง ๆ และ 3. เพื่อศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างดีเทอร์มิแนนต์กับสามเหลี่ยมปาสคาล เนื้อหาที่เกี่ยวข้องในการทำโครงงานคณิตศาสตร์ครั้งนี้คือเมทริกซ์ ลำดับพหุนาม และสามเหลี่ยมปาสคาล

สรุปผลการศึกษา

  1. ได้สมบัติดีเทอร์มิแนนต์ ดังนี้

  1. ถ้าสมาชิกในเมทริกซ์ A ทั้ง 3 แถวหรือทั้ง 3 หลักใดๆ แต่ละแถวหรือหลักเพิ่มหรือลดอย่างละเท่ากัน จะได้ว่า det A = 0

  1. ถ้าสลับที่ระหว่าง 2 แถวหรือหลักของเมทริกซ์ และมีการสลับเรียงแบบวงกลมไม่ย้อนกลับทำให้ค่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์นั้นมีค่าเท่ากับเมทริกซ์ต้นแบบ หรือถ้าหากมีการสลับเรียงแบบวงกลมย้อนกลับจะส่งผลให้ค่าดีเทอร์มิแนนต์มีค่าตรงข้ามกับเมทริกซ์ต้นแบบ

  1. ได้สูตรการหาค่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์

ให้ A =

แล้ว det A = (-1)n-1 an เมื่อ a เป็นค่าคงตัวในเมทริกซ์ และ n เป็นมิติของเมทริกซ์

  1. ได้ความสัมพันธ์ระหว่างดีเทอร์มิแนนต์กับสามเหลี่ยมปาสคาลคือ

  1. จากการหาดีเทอร์มิแนนท์ของเมทริกซ์ขนาด 2x2 , 3x3 , 4x4 จากสามเหลี่ยมปาสคาลพบว่าแถวเฉียงที่ 2 ของแต่ละความสัมพันธ์ มีค่าเท่ากับแถวเฉียงที่ 3 , 4 , 5 ของสามเหลี่ยมปาสคาล ตามลำดับ

  2. จากการหาดีเทอร์มิแนนท์ของเมทริกซ์ขนาด 2x2 แถวเฉียงที่ 2 ประกอบด้วย 1 3 6 10 15 21 28 36 ... เป็นจำนวนสามเหลี่ยม

  3. สามารถหาค่าประจำตำแหน่งในแต่ละแถว มีหลักการหาดังนี้

จากการหาดีเทอร์มิแนนท์ของเมทริกซ์ขนาด 2x2 พิจารณาแถวเฉียงที่ 2 ประกอบด้วย 1 3 6 10 15 21 28 36

พิจาณาแถวที่ 7 คือ 1 21 105 175 105 21 1 สามารถหาได้ดังนี้

, , , และ

  1. สามารถหารูปแบบทั่วไปของแถวเฉียงของแต่ละความสัมพันธ์ดังนี้

  1. จากการหาดีเทอร์มิแนนท์ของเมทริกซ์ขนาด 2x2 รูปแบบทั่วไปของแถวเฉียง

ที่ 2 คือ และรูปแบบทั่วไปของแถวเฉียงที่ 3 คือ

  1. จากการหาดีเทอร์มิแนนท์ของเมทริกซ์ขนาด 3x3 รูปแบบทั่วไปของแถวเฉียง

ที่ 2 คือ

  1. จากการหาดีเทอร์มิแนนท์ของเมทริกซ์ขนาด 4x4 รูปแบบทั่วไปของแถวเฉียง

ที่ 2 คือ

ข้อเสนอแนะ

เราควรศึกษาหาสมบัติของเมทริกซ์เพิ่มเติมและศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างดีเทอร์มิแนนต์กับสามเหลี่ยมปาสคาลในกรณี nxn