การอธิบายคุณสมบัติแบบใหม่ของการแปลงเมอบิอุสโดยใช้รูป 2n เหลี่ยมอพอลโลเนียส

ชื่อนักเรียนผู้จัดทำโครงงานวิทยาศาสตร์

พชร จำปา, พรรักษ์ ตั้งอังกูร

อาจารย์ที่ปรึกษาโครงงานวิทยาศาสตร์

วสนนท์ พงษ์สวัสดิ์

โรงเรียนที่กำกับดูแลโครงงานวิทยาศาสตร์

โรงเรียนกำเนิดวิทย์

ปีที่จัดทำโครงงานวิทยาศาสตร์

พ.ศ. 2562

บทคัดย่อโครงงานวิทยาศาสตร์

จุดประสงค์ของโครงงานนี้คือการพิสูจน์ทฤษฎีบทที่ว่า ในเรขาคณิตไฮเพอร์โบลิก การแปลงเมอบิอุสเป็นฟังก์ชันเดียวที่เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์และยูนิวาเลนต์บนโดเมน R ที่สามารถแปลงรูป 2n เหลี่ยมอพอลโลเนียสไปยังรูป 2n เหลี่ยมอพอลโลเนียสได้โดยการแปลงจุดบนระนาบเชิงซ้อนบนรูป 2n เหลี่ยมอพอลโลเนียส โดยใช้ความรู้เรื่องการแปลงเมอบิอุสและรูป 2n เหลี่ยมอพอลโลเนียส ในส่วนของวิธีทำ ขั้นแรก ผู้จัดทำได้ศึกษาเนื้อหาที่ใช้และขั้นตอนการพิสูจน์จากงานวิจัยที่มีอยู่แล้วซึ่งเป็นกรณีของรูปสี่เหลี่ยมและรูปหกเหลี่ยม ขั้นที่สอง ผู้จัดทำได้พิสูจน์ทฤษฎีบทในกรณีของรูปแปดเหลี่ยมและรูปสิบเหลี่ยมซึ่งป็นการต่อยอดจากงานวิจัยเดิม และขั้นที่สาม ผู้จัดทำได้พิสูจน์ว่า การพิสูจน์ทฤษฎีบทในขั้นตอนแรกสามารถทำได้สำหรับทุกรูป 2n เหลี่ยมอพอลโลเนียส แต่ทางผู้จัดทำยังไม่ได้พิสูจน์ในขั้นตอนที่เหลือ อย่างไรก็ตาม ผู้จัดทำได้พูดถึงความเป็นไปได้สำหรับขั้นตอนการพิสูจน์ที่เหลือ

The objective of this project is to prove the theorem which states that Möbius transformation is the only one function which is analytic and univalent on domain R that can transform an Apollonius 2n-gon to another Apollonius 2n-gon in hyperbolic geometry. The transformation is made from transformation of the points in complex plane on Apollonius 2n-gon. The concepts of Möbius transformation and Apollonius 2n-gons are used in the proof. For the method, we first studied about the used concepts and proofs from the previous research papers which proved the two cases which are quadrilaterals and hexagons. Next, we proved the theorem in two cases which are octagons and decagons. We developed from the previous researches. Finally, we proved that the proof in the first part of the theorem can be generalized to be Apollonius 2n-gons, but we have not proved the remaining part yet. However, we predict about the possibility to prove the remaining part.