การหาดีเทอร์มิแนนต์ของสามเหลี่ยมปาสคาล
- ชื่อนักเรียนผู้จัดทำโครงงานวิทยาศาสตร์
เจษฎา สะลี
- อาจารย์ที่ปรึกษาโครงงานวิทยาศาสตร์
กัญญ์ภัคพิมพ์ อุดมวงษ์, บุษราภรณ์ กองรัตน์
- โรงเรียนที่กำกับดูแลโครงงานวิทยาศาสตร์
- ปีที่จัดทำโครงงานวิทยาศาสตร์
บทคัดย่อโครงงานวิทยาศาสตร์
บทคัดย่อ
โครงงานคณิตศาสตร์เรื่อง การหาดีเทอร์มิแนนต์ของสามเหลี่ยมปาสคาล มีจุดมุ่งหมายในการศึกษาค้นคว้า 1. เพื่อศึกษาหาสมบัติดีเทอร์มิแนนต์ 2. เพื่อศึกษาหาสูตรดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์รูปแบบต่าง ๆ และ 3. เพื่อศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างดีเทอร์มิแนนต์กับสามเหลี่ยมปาสคาล เนื้อหาที่เกี่ยวข้องในการทำโครงงานคณิตศาสตร์ครั้งนี้คือเมทริกซ์ ลำดับพหุนาม และสามเหลี่ยมปาสคาล
สรุปผลการศึกษา
ได้สมบัติดีเทอร์มิแนนต์ ดังนี้
ถ้าสมาชิกในเมทริกซ์ A ทั้ง 3 แถวหรือทั้ง 3 หลักใดๆ แต่ละแถวหรือหลักเพิ่มหรือลดอย่างละเท่ากัน จะได้ว่า det A = 0
ถ้าสลับที่ระหว่าง 2 แถวหรือหลักของเมทริกซ์ และมีการสลับเรียงแบบวงกลมไม่ย้อนกลับทำให้ค่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์นั้นมีค่าเท่ากับเมทริกซ์ต้นแบบ หรือถ้าหากมีการสลับเรียงแบบวงกลมย้อนกลับจะส่งผลให้ค่าดีเทอร์มิแนนต์มีค่าตรงข้ามกับเมทริกซ์ต้นแบบ
ได้สูตรการหาค่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์
ให้ A =
แล้ว det A = (-1)n-1 an เมื่อ a เป็นค่าคงตัวในเมทริกซ์ และ n เป็นมิติของเมทริกซ์
ได้ความสัมพันธ์ระหว่างดีเทอร์มิแนนต์กับสามเหลี่ยมปาสคาลคือ
จากการหาดีเทอร์มิแนนท์ของเมทริกซ์ขนาด 2x2 , 3x3 , 4x4 จากสามเหลี่ยมปาสคาลพบว่าแถวเฉียงที่ 2 ของแต่ละความสัมพันธ์ มีค่าเท่ากับแถวเฉียงที่ 3 , 4 , 5 ของสามเหลี่ยมปาสคาล ตามลำดับ
จากการหาดีเทอร์มิแนนท์ของเมทริกซ์ขนาด 2x2 แถวเฉียงที่ 2 ประกอบด้วย 1 3 6 10 15 21 28 36 ... เป็นจำนวนสามเหลี่ยม
สามารถหาค่าประจำตำแหน่งในแต่ละแถว มีหลักการหาดังนี้
จากการหาดีเทอร์มิแนนท์ของเมทริกซ์ขนาด 2x2 พิจารณาแถวเฉียงที่ 2 ประกอบด้วย 1 3 6 10 15 21 28 36
พิจาณาแถวที่ 7 คือ 1 21 105 175 105 21 1 สามารถหาได้ดังนี้
, , , และ
สามารถหารูปแบบทั่วไปของแถวเฉียงของแต่ละความสัมพันธ์ดังนี้
จากการหาดีเทอร์มิแนนท์ของเมทริกซ์ขนาด 2x2 รูปแบบทั่วไปของแถวเฉียง
ที่ 2 คือ และรูปแบบทั่วไปของแถวเฉียงที่ 3 คือ
จากการหาดีเทอร์มิแนนท์ของเมทริกซ์ขนาด 3x3 รูปแบบทั่วไปของแถวเฉียง
ที่ 2 คือ
จากการหาดีเทอร์มิแนนท์ของเมทริกซ์ขนาด 4x4 รูปแบบทั่วไปของแถวเฉียง
ที่ 2 คือ
ข้อเสนอแนะ
เราควรศึกษาหาสมบัติของเมทริกซ์เพิ่มเติมและศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างดีเทอร์มิแนนต์กับสามเหลี่ยมปาสคาลในกรณี nxn