การวิเคราะห์การตกของวัตถุภายใต้สนามโน้มถ่วงโลก

ชื่อผู้จัดทำโครงงานวิทยาศาสตร์
  • คทา วุฒิชาญ

อาจารย์ที่ปรึกษาโครงงานวิทยาศาสตร์
  • ไพศาล นาคมหาชลาสินธุ์

สถาบันการศึกษาที่กำกับดูแลโครงงานวิทยาศาสตร์

จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย

ระดับการศึกษา

โครงงานในระดับการศึกษาปริญญาโทขึ้นไป

หมวดวิชา

โครงงานในสาขาวิชาฟิสิกส์

วันที่จัดทำโครงงานวิทยาศาสตร์

01 มกราคม 2541

บทคัดย่อโครงงานวิทยาศาสตร์

โครงงานวิทยาศาสตร์เรื่อง “การวิเคราะห์การตกของวัตถุภายใต้สนามโน้มถ่วงโลก” เป็นโครงงานเชิงทฤษฎีที่ศึกษาการตกอย่างอิสระของวัตถุรูปร่างต่าง ๆ กัน ภายใต้สนามโน้มถ่วงโลก ในเบื้องต้น ได้อ้างอิงถึง สมมติฐาน กาลิเลโอ กาลิเลอี ซึ่งได้ทดลองทิ้งวัตถุ ซึ่งมีมวลและรูปร่างต่าง ๆ กันจากหอเอนเมืองปิซา แล้วสรุปว่า “วัตถุทั้งหลายที่ตกจากระดับความสูงเดียวกัน ด้วยเงื่อนไขเริ่มต้น คือความเร็วต้นเท่ากันแล้ว วัตถุจะตกถึงพื้นพร้อมกัน” โดยสมมติฐานนี้บอกว่า มวล และขนาดรูปร่างของวัตถุ ไม่มีผลต่อระยะเวลาในการตก สมมติฐานนี้เห็นจริงได้จากกฎแรงโน้มถ่วงของนิวตัน โดยคิดเสมือนว่ามวลของวัตถุและโลก รวมที่จุดศูนย์กลางมวล เราจะได้เร่งที่ระดับความสูงใด ๆ จากจุดศูนย์กลางมวลโลก ![a = GM_E /h^2](/latexrender/pictures/a13/a13124a3eb3fa80bebc4ef73b8f01b3d.gif) (h คือระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางมวลทั้งสอง) ซึ่งค่า ![GM_E](/latexrender/pictures/a13/ac2/ac20488058f60557d32e17607af29b00.gif) เป็นค่าคงที่ เราพบว่า a จะขึ้นกับ h เท่านั้น โดยมวล และรูปร่างของวัตถุไม่มีผลกับความเร่ง ดังนั้น ที่ระดับความสูงเท่ากัน ถ้าเงื่อนไขเริ่มต้นเท่ากัน (ถึงแม้ว่ามวลหรือรูปร่างจะต่างกัน ก็ตาม) วัตถุจะมีความเร่งเท่ากัน ส่งผลให้ตกถึงพื้นพร้อมกันแต่ในความเป็นจริง มวลของโลก และวัตถุนั้นกระจายอยู่ทั่วทั้งก้อนของมัน ซึ่งมิได้รวมอยู่ที่จุดศูนย์กลางมวลแต่อย่างใด โครงงานนี้จะศึกษาการตกอย่างอิสระของวัตถุภายใต้แรงโน้มถ่วงของโลกโดยให้มวลกระจายตัวทั่วทั้งก้อนวัตถุและโลกเสมือนว่าวัตถุและโลกมีความหนาแน่นสม่ำเสมอตลอดทั่วทั้งปริมาตรและที่สำคัญคือ สัณฐานของโลกให้คิดเสมือนว่าเป็นทรงกลม (sphere) หลักการในการคิด โดยการแบ่งมวลออกเป็นมวลเล็ก ๆ (dm) แล้วหาแรงกระทำ (แรงดึงดูดระหว่างมวล) ต่อมวล dm จากนั้นจึงอินทิเกรต รวมแรงทั้งหมด โดยหลักการนี้ เราต้องพิสูจน์ความสัมพันธ์ของแรงลัพธ์ระหว่างจุดมวลใด ๆ กับโลกเสียก่อน เพื่อนำไปใช้อ้างอิงในกรณีอื่น ๆ ได้ โดยขอบเขตการศึกษานั้นเราจะกำหนดให้สัณฐานของโลกเป็นทรงกลมกำหนดให้สัณฐานของโลกมีลักษณะเป็นทรงกลม (sphere) ถือว่ามวลของวัตถุและโลกกระจายตัวอย่างสม่ำเสมอทั่วทั้งปริมาตร มีความหนาแน่น p และศึกษาวัตถุรูปทรงเรขาคณิต ที่สามารถอินทิเกรตได้ง่าย ในที่นี้ถือว่ากฎแรงโน้มถ่วงของนิวตัน (หรือกฎแรงดึงดูดระหว่างมวลของนิวตัน) เป็นไปตามสูตร ![F = GM_1 M_2 /h^2 ](/latexrender/pictures/a13/ac2/77f/77fe27faa8c676f41200295179c04cc2.gif) และในการคิดการตกอย่างอิสระของวัตถุภายใต้สนามโน้มถ่วงโลกนั้น เราไม่คิดแรงต้านใด ๆ และกำหนดให้การตกนั้น ๆ ไม่มีการหมุนรอบจุดศูนย์กลางมวลของวัตถุ (ไม่มีการควงหรือส่ายด้วย) ผลลัพธ์ที่ได้วิเคราะห์ โดยการกระจายแบบประมาณค่าด้วยอนุกรมอนันต์ (เนื่องจากรัศมีโลก![R_E](/latexrender/pictures/a13/ac2/77f/f16/f166f43660fe9acf479976bfdfd6a6b8.gif) มีขนาดใหญ่กว่าวัตถุมาก ๆ) ผลจากการอินทิเกรตแรงกระทำของวัตถุรูปทรงเรขาคณิตต่าง ๆ พบว่า แรงกระทำที่แท้จริงอาจแตกต่างจากแรงที่ได้จากการคิดว่ามวลทั้งหมดของวัตถุรวมกันอยู่ที่จุดศูนย์กลางมวล