การหาผลเฉลยสมการไดโอแฟนไทน์ในรูป x^2+ y^2= z^n : กรณีศึกษาที่ n เป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่ 2 ≤ n ≤ 9
- ชื่อนักเรียนผู้จัดทำโครงงานวิทยาศาสตร์
ณัฐชยา คงสันติถิรชัย, รัตนากร สงวนสัตย์
- อาจารย์ที่ปรึกษาโครงงานวิทยาศาสตร์
วรรณา ปานอำพันธุ์
- โรงเรียนที่กำกับดูแลโครงงานวิทยาศาสตร์
- ปีที่จัดทำโครงงานวิทยาศาสตร์
บทคัดย่อโครงงานวิทยาศาสตร์
การศึกษาโครงงานเรื่อง การหาผลเฉลยสมการไดโอแฟนไทน์ในรูป x^2+ y^2= z^n :กรณีศึกษาที่ n เป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่ 2≤n≤9 ครั้งนี้ มีวัตถุประสงค์ เพื่อหาผลเฉลยสมการไดโอแฟนไทน์ที่อยู่ในรูป x^2+y^2= z^nเมื่อ 2≤n≤9 และ n เป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่งสมการไดโอแฟนไทน์ที่อยู่ในรูป x^2+ y^2= z^2 โดยที x , y และ z เป็นจำนวนเต็ม เป็นสมการที่รู้จักกันโดยทั่วไปเพราะว่า สมการไดโอแฟนไทน์ดังกล่าวคล้ายกับสมการของพีทาโกรัส จากการศึกษาพบว่า การใช้วิธีการพิสูจน์เอกลักษณ์พีชคณิตเพื่อหาผลเฉลยสมการไดโอแฟไทน์ในรูป x^2+ y^2= z^n นั้น อาจจะมีความยุ่งยากด้วยวิธีการพิสูจน์เอกลักษณ์พีชคณิตนั้น เป็นการพิสูจน์เพื่อหาความสัมพันธ์เอกลักษณ์เพียงสมการเดียวแต่จากเงื่อนไขที่ว่า n เป็นจำนวนต็มบวกของสมการไดโอแฟนไทน์ในรูป x^2+ y^2= z^n นั้น แสดงว่าสมการดังกล่าวมีได้หลายสมการ ดังนั้น การใช้วิธีการพิสูจน์เอกลักณ์พีชคณิตจึงอาจจะไม่เหมาะสมหรือมีความยุ่งยาก ผู้ศึกษาได้สังเกตว่า ถ้า z=a+bi และ z ̅=a-bi เป็นจำนวนเชิงซ้อน โดยที่ a และ bเป็นจำนวนเต็มบวก แล้วจะได้ z×z ̅= (a + bi)(a - bi)= a^2+ b^2 และ(z× z ̅ )^n= (a+bi)^n (a-bi)^n=(a^2+b^2 )^n สามารถกระจายพจน์ (a + bi)^n และ (a - bi)^n โดยอาศัยทฤษฎีบททวินาม จากนั้นนำผลที่ได้มาสร้างความสัมพันธ์กับสมการไดโอแฟไทน์ในรูป x^2+ y^2= z^n เพื่อหาผลเฉลยสการดังกล่าว
ผลการศึกษาโครงงานพบว่า กรณีจำนวนเต็มบวก(n) =2≤n≤9 มีความสอดคล้องกับลักษณะของสมการไดโอแฟนไทน์ที่อยู่ในรูป x^2+ y^2= z^n ทั้ง 8แบบ โดยที่ a และ b เป็นจำนวนเต็มบวกใช้ในการสร้างจำนวนเต็ม 3 จำนวน (x,y,z) ซึ่งกำหนดเป็นค่า a,b เป็น 3กรณี คือ กรณีที่ 1ให้ a = 1, b= 1 กรณีที่ 2ให้ a =2,b= 1 และกรณีที่ 3ให้ a= 3,b=1 ผลที่ได้คือได้ค่า x,y และ z ป็นจำนวนต็มทั้ง 3จำนวน ซึ่งมีความสอดคล้องกัน นั่นคือ ได้ผลเฉลยเป็นจำนวนเต็มสามารถใช้หาผลเฉลยสมการไดโอแฟนไทน์ที่อยู่ในรูป x^2+ y^2= z^n เมื่อ n เป็นจำนวนต็มบวกโดยที่ 2≤n≤9 ได้จริง